Содержание

Введение - цель   издания  Великий математик Пифагор и Музыка Сфер «Начала» Евклида - самый известный  учебник в истории Мухаммад ибн Мусса аль-Хорезми — Отец Алгебры Великий математик 18 века Леонард Эйлер и его решение Базельской задачи

Знаменитая  дзета-функция Эйлера

«Король математиков» Карл Гаусс и его Теорема о распределении простых чисел «Святой Грааль» математики - Гипотеза Римана, одна из самых значимых нерешенных проблем в математике. 1 млн $ за ее решение Гений 19 века, великий математик - новатор Бернхард Риман. Его вклад в науку Риман и его эллиптическая геометрия. Истинная геометрия пространства Неевклидова гиперболическая геометрия Лобачевского - альтернативная реальность Гений Георг Кантор и ошеломляющие свойства его актуальных бесконечностей. Революция в математике в 19 веке Анри Пуанкаре – гениальный  математик-универсал. Отец топологии  Дэвид Гильберт: архитектор современной математики  и его 23 проблемы Крах аксиоматической вселенной математика Гильберта и сущность парадоксального результата теоремы Гёделя  о неполноте  Предыстория открытия революционной теоремы Геделя: Аристотель, Лейбниц, Пеано, Рассел и Уайтхед Великая теорема Геделя  Новая Интуиционистская Логика ХХI века Кем был математик Рамануджан? Мистический гений Индии из касты брахманов Гений Алан Тьюринг – и его «машина Тьюринга» Великий математик ХХ в Джон фон Нейман - один из самых умных людей из когда-либо живших. Почему? Знаменитый фрактал - множество Мандельброта - «самый сложный предмет в математике».  Фрактальная геометрия природы Человек, который изобрел современную вероятность – русский гений Андрей Колмогоров "Святой" математик Григорий Перельман и премия тысячелетия в 1 млн $ за решение гипотезы Пуанкаре – "Формулы Вселенной" Эйлер нашего времени «странствующий математик» Пал Эрдёш Шакунтала Деви - «Человек-Компьютер» необъяснимый феномен индийский волшебник-математик ХХ века Великая теорема Ферма - знаменитая загадка доказана британским гением Уайлсом.

Диофантовы уравнения и автоморфные формы

«Святой Грааль» математики - Гипотеза Римана, одна из самых значимых нерешенных проблем в математике.

1 млн $ за ее решение

«Есть некоторые загадки, в которые человеческий разум никогда не проникнет. Чтобы убедиться в этом, достаточно бросить взгляд на таблицы простых чисел. Мы заметим, что в них нет ни порядка, ни закона» Эйлер

 

Известный анекдот: «Кто-то спросил известного математика, если он заснет и проснется через 100 лет, каким будет его первый вопрос? Гильберт ответил: «Доказана ли гипотеза Римана?»

 

Любой глупец может задавать вопросы о простых числах, на которые не сможет ответить и самый умный человек.

 

Гипотеза Римана: Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную 1/2

Гипотеза Римана - самая печально известная нерешенная проблема в математике. С тех пор, как она была впервые предложена Бернхардом Риманом в 1859 году, эта гипотеза сохранила статус «Святого Грааля» математики. Фактически, тот, кто ее решит, получит приз в 1 миллион долларов от Института математики Клея. Итак, что такое гипотеза Римана? Почему это так важно? Что это может сказать нам о хаотической вселенной простых чисел? И почему ее доказательства так неуловимы?

Все мы знаем, что число может быть или простым, или составным. Все составные числа состоят из простых и могут быть разложены на их произведения (a x b). В этом смысле простые числа являются «строительными блоками» или «фундаментальными элементами» чисел.

Простые числа появляются во всей последовательности подсчета чисел, но их появление не подчиняется какой-либо очевидной закономерности. Вопрос, которому уже 3000 лет:

Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?

Если посмотреть на список простых чисел внимательно, то станет заметно, что они скудеют по мере продвижения вперед по списку. Между 1 и 100 имеется 25 простых; между 401 и 500 их 17; а между 901 и 1000 — всего 14. Как видно, число простых в каждом блоке из сотни чисел убывает. Если бы мы продлили список, включив в него все простые числа до миллиона, то обнаружилось бы, что в последнем блоке из сотни чисел (т.е. среди чисел от 999 901 до 1000 000) всего лишь восемь простых. А если продлить до триллиона, то в последнем блоке из сотни чисел нашлись бы только четыре простых.

Вопрос: можно ли найти правило, закон для описания того, как именно истончаются простые числа?

 В пределах сотни имеется 25 простых чисел. Если бы простые числа были распределены строго равномерно, то, разумеется, в пределах тысячи их было бы в 10 раз больше, т.е. 250. Но из-за истончения там в действительности только 168 простых. Почему 168? Почему, скажем, не 158, или 178, или еще сколько-нибудь? Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?

 В 300 году до н. э. Евклид доказал, что количество простых чисел бесконечно. Нет наибольшего простого числа. Сколь большое простое число вы бы ни взяли, всегда найдется еще большее. Простые числа продолжаются бесконечно.

В конце 1700-х годов математики пытались понять общую структуру бесконечных рядов, в том числе, они начали серьезно задаваться вопросом: можно ли спрогнозировать появление простых чисел в бесконечном ряду? Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?

Математики говорят, что это — гармонический ряд; ряд означает неограниченно продолжающееся суммирование членов, каждый из которых задается некоторым общим законом. В данном примере члены ряда 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, … — это обратные величины к обычным натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….Этот ряд играет в математике достаточно важную роль, чтобы иметь собственное название. Он называется гармоническим рядом.

 

Складывая достаточно большое число членов гармонического ряда, можно получить сколь угодно большой результат. У этой суммы нет предела, гармонический ряд расходится.

 Сумма чисел гармонического ряда является несходящейся (то есть не имеющей конечного предела; она не приближается и не стремится к какому-то определённому числу, а устремлена в бесконечность).

В рядах изумляет не то, что некоторые из них расходятся, а то, что так делают не все ряды. Когда мы складываем бесконечное число слагаемых, разве мы не вправе ожидать, что и ответ будет бесконечен?

                              Мать всех функций - Дзета-функция

Возьмем ряд суммы обратных квадратов всех положительных целых чисел:

Базельская задача - каков точный предел ряда обратных квадратов, или что то же самое - найти замкнутый вид ряда из обратных квадратов. Базельская задача названа в честь швейцарского города, в университете которого профессорами математики один за другим были двое братьев Бернулли — Якоб (с 1687 по 1705 год) и Иоганн (с 1705 по 1748 год). Якоб Бернулли первым сформулировал приведенную выше задачу и обратился ко всем, кто знает, как с ней разобраться, с просьбой сообщить ему ответ.

Математикам нетрудно было показать, что этот ряд сходится, то есть сумма стремится к некому числу, а не уходит в бесконечность, в нашем случает ряд стремится к некому числу, в окрестности 1,644 или 1,645, но к какому конкретно?

 Важно осознать разницу между гармоническим рядом и этим новым рядом. В случае гармонического ряда сложение бесконечного числа слагаемых дало бесконечный результат. Здесь же сложение бесконечного числа слагаемых дает конкретное число, которое называется пределом. Гармонический ряд расходится. Наш новый ряд суммы обратных квадратов сходится, что означает - он имеет предел. 

Вопрос: каков точный предел ряда обратных квадратов?

Ранее, в главе об Эйлере я писала о решении этой задачи. Но позволю себе повториться:

Базельская задача была решена в 1735 г, через 46 лет после своей постановки Бернулли, и решил ее молодой Леонард Эйлер, трудившийся в это время в Санкт-Петербурге. Его потрясающий ответ имел вид - π2/6. Да, это «то самое» π, магическое число, равное 3,14159265…,отношение длины окружности к ее диаметру. Что же оно делает в задаче, которая не имеет ни малейшего отношения не только к окружностям, но и вообще к геометрии?! Современных математиков это не так уж изумляет, они привыкли, что π можно встретить в математике где угодно, но в 1735 году этот ответ произвел сильное впечатление на математиков.

Эйлер вычислил суммы аналогичных рядов для целых степеней > 2. Так появилась знаменитая дзета-функция Эйлера: